某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足
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某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足:①y与(a-x)•x
2
成正比;②当x=
a
2
时,y=a
3
,并且技术改造投入满足
x
2(a-x)
∈(0,t],其中t为常数且t∈(1,2].
(1)求y=f(x)表达式及定义域;
(2)求出产品增加值的最大值及相应x的值.
答案
(1)由题意,设y=f(x)=k(a-x)•x
2
∵当x=
a
2
时,y=a
3
,∴k=8,∴f(x)=8(a-x)•x
2
∵
x
2(a-x)
∈(0,t],∴x∈(0,
2at
2t+1
];
(2)
f
′
(x)=-24
x
2
+16ax=-24x(x-
2
3
a)
令f
′
(x)=0,∴
x=
2
3
a
当t∈(1,2]时,
2at
2t+1
≥
2
3
a
,
∴
x∈(0,
2
3
a)
,f′(x)>0时,函数单调递增;x∈
(
2
3
a,
2at
2t+1
)
,f′(x)<0时,函数单调递减,
∴
x=
2
3
a时,
y
max
=
32
27
a
3
…(10分)
综上1≤t≤2时,投入
2
3
a
万元最大增加值
32
27
a
3
万元 …(12分)
举一反三
用函数单调性定义证明,函数f(x)=x
3
+
1
x
在[1,+∞)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是以5为周期的奇函数,f(-3)=1,又tanα=3,则f(sec
2
α-2)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题中,正确的命题是( )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
题型:单选题
难度:简单
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已知a>1,f(log
a
x)=
a
a
2
-1
(x-
1
x
)
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明f(x)为R上的增函数;
(3)若当x∈(-1,1)时,有f(1-m)+f(1-m
2
)<0,求m的集合M.
题型:解答题
难度:一般
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已知:a,b,c,d∈R
+
,且a+b+c+d=256,则
a
+
b
+
c
+
d
的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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