设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件；
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f(1)，f(

1

9

)的值；
（Ⅱ）证明f（x）在R⁺是减函数；
（Ⅲ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

答案

（Ⅰ）令x=y=1易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，得f(

1

9

)=2.
（Ⅱ）取定义域中的任意的x₁，x₂
且0＜x1＜x2⇒

x2

x1

＞1 ⇒f(

x2

x1

)＜0
∴f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)，其中0＜x＜2，
由可（Ⅱ）得：

x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2

解得x的范围是(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．