设函数f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0.(1)若己知函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围;(2)若己知b=1,求证:对任意的正整数n,不等式n
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x2+bln(2x+1),其中b≠0. (1)若己知函数f(x)是增函数,求实数b的取值范围; (2)若己知b=1,求证:对任意的正整数n,不等式n<f(n)恒成立. |
答案
(1)由题意知,f(x)的定义域为(-,+∞),f/(x)= ∵函数f(x)是增函数,∴f/(x)=≥0在(-,+∞)上恒成立, ∴4x2+2x+2b≥0在(-,+∞)上恒成立,即b≥-2x2-x在(-,+∞)上恒成立 又∵-2x2-x≤,当且仅当x=-时,等号成立,∴b≥ (Ⅱ)∵b=1,∴f(x)=x2+ln(2x+1) 设函数g(x)=f(x)-x=x2-x+ln(2x+1),则g(x)的定义域也是(-,+∞),并且g/(x)=>0 ∴g(x)在整个定义域(-,+∞)上是增函数. ∴对任意的正整数n,有g(n)>g(0)恒成立 即对任意的正整数n,f(n)-n>0,也即不等式n<f(n)恒成立. |
举一反三
已知函数f(x)=(a>0,a≠1,a为常数,x∈R) (1)若f(m)=6,求f(-m)的值; (2)若f(1)=3,求f(2)及f()的值. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),f(-2)=f(0)=0,f(x)的最小值为-1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=f(-x)-mf(x)+1,若g(x)在[-1,1]上是减函数,求实数m的取值范围. |
某企业为打入国际市场,决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
| 年固定成本 | 每件产品成本 | 每件产品销售价 | 每年最多可生产的件数 | A产品 | 20 | m | 10 | 200 | B产品 | 40 | 8 | 18 | 120 | 已知偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则f(x-2)>0的解集为______. | 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为______. |
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