已知函数f(x)=x+ax2,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=x+ax2,其中a∈R.(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=x+
a
x
2
,其中a∈R.
(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)因为
f(x)=x+
a
x
2
是奇函数. 所以f(-x)=-f(x),其中x∈R且x≠0.…(2分)
即
-x+
a
x
2
=-x-
a
x
2
,其中x∈R且x≠0.
所以a=0.…(6分)
(Ⅱ)
f′(x)=1-
2a
x
3
.…(8分)
因为f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,
所以
f′(x)=1-
2a
x
3
≥0
在[2,+∞)上恒成立,…(9分)
即
a≤
1
2
x
3
在[2,+∞)上恒成立,
因为
y=
1
2
x
3
在[2,+∞)上的最小值y
min
=4,
所以 a≤4,验证知当a≤4时,f(x)在区间[2,+∞)上单调递增.…(13分)
举一反三
已知函数
y=
m
x
2
+4
3
x+n
x
2
+1
的最大值为7,最小值为-1,求此函数式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数f(x)同时满足:
①
f(0)=f(
π
4
)=1
;②f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cos2n+8sin
2
n(m,n∈R).
则(1)
f(
π
2
+x)+f(x)
=______;
(2)函数f(x)的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知a≠0,函数
f(x)=
1
3
a
2
x
3
-a
x
2
+
2
3
,g(x)=-ax+1,x∈R.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间
(0,
1
2
]
上至少存在一个实数x
0
,使f(x
0
)>g(x
0
)成立,试求正实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=(
1
3
)
a
x
2
-4x+3
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在(-2,2)上的函数
f(x)=
a,x=1
x
3
+b
x
2
-x-1
x
2
+x-2
,x≠1
连续.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅲ)求f(x)的最值.
题型:解答题
难度:一般
|
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