已知函数f(x)=4x+ax(a>0,a∈R),(1)判断并证明f(x)在(0,a2)上的单调性;(2)讨论函数g(x)=4x+ax-1(a>0)在(0,+∞)
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已知函数f(x)=4x+ax(a>0,a∈R),(1)判断并证明f(x)在(0,a2)上的单调性;(2)讨论函数g(x)=4x+ax-1(a>0)在(0,+∞)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=4x+
a
x
(a>0,a∈R),
(1)判断并证明f(x)在(0,
a
2
)上的单调性;
(2)讨论函数g(x)=4x+
a
x
-1(a>0)在(0,+∞)上的零点的个数.
答案
(1)f(x)在
(0,
a
2
)
上单调递减
证:任取
x
1
,
x
2
∈(0,
a
2
)
,设x
1
<x
2
,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=4
x
1
+
a
x
1
-4
x
2
-
a
x
2
=
4(
x
1
-
x
2
)+a•
x
2
-
x
1
x
1
x
2
=
(
x
1
-
x
2
)(4-
a
x
1
x
2
)
∵
x
1
<
a
2
,
x
2
<
a
2
∴
x
1
x
2
<
a
4
,
∴
a
x
1
x
2
>4.
所以f(x)为减函数.
(2)由(1)得
g(x)在(0,
a
2
)
上单调递减,同理可得,
g(x)在[
a
2
,+∞]
上单调递增.
故g(x)的最小值为
g(
a
2
)=4
a
-1
,
∴当
4
a
-1>0,即a>
1
16
时,无零点;
当
a=
1
16
时,有1个零点;
当
0<a<
1
16
时,有2个零点.
举一反三
函数f(x)=x
2
+(3a+1)x+2a在 (-∞,4)上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-3
B.a≤3
C.a≤5
D.a=-3
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
【示范高中】已知函数f(x)=log
a
(x
2
-2ax+3)(a>0且a≠1),满足对任意实数x
1
,x
2
,当x
1
<x
2
≤a 时,总有f(x
1
)-f(x
2
)>0,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(0,
3
)
C.(1,
3
)
D.(0,1)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
-3x+2,设函数F(x)=
f(x)(x≥0)
f(-x)(x<0)
(1)求F(x)的表达式;
(2)若m+n=0,mn<0试判断F(m)与F(n)的大小关系,并说明理由;
(3)解不等式2≤F(x)≤6.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=ax
2
+x+1(a>0)的两个不同的零点为x
1
,x
2
(Ⅰ)证明:(1+x
1
)(1+x
2
)=1;
(Ⅱ)证明:x
1
<-1,x
2
<-1;
(Ⅲ)若x
1
,x
2
满足
lg
x
1
x
2
∈[-1,1]
,试求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的函数f(x)满足
f(
1
2
+x)+f(
1
2
-x)=2
,则
f(
1
8
)+f(
2
8
)+f(
3
8
)+f(
4
8
)+f(
5
8
)+f(
6
8
)+f(
7
8
)
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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