若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;  ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2) x

若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;  ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2) x

题型:填空题难度:一般来源:不详
若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;  ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有
f(x1)-f(x2
x1-x2
<0
,则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:
(1)f(x)=
1
x
   
(2)f(x)=x2  
(3)f(x)=
2x-1
2x+1
 
(4)f(x)=





-x2   x≥0
x2    x<0

能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).
答案
依题意,性质①反映函数f(x)为定义域上的奇函数,性质②反映函数f(x)为定义域上的单调减函数,
(1)f(x)=
1
x
为定义域上的奇函数,但不是定义域上的单调减函数,其单调区间为(-∞,0),(0,+∞),故排除(1);
魔方格

(2)f(x)=x2 为定义域上的偶函数,排除(2);
(3)f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
,定义域为R,由于y=2x+1在R上为增函数,故函数f(x)为R上的增函数,排除(3);
(4)f(x)=





-x2   x≥0
x2    x<0
的图象如图:显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,故(4)为理想函数
故答案为 (4)
举一反三
已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)求集合M={m|m使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
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设a>0,f(x)=
2x
a
+
a
2x
是R上的偶函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
如果对于函数f(x)定义域内任意的x,都有f(x)≥M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界.定义在[1,e]上的函数f(x)=2x-1+lnx的下确界M=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
关于函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0,x∈R)
,有下列结论:
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②在区间(-∞,0)上,函数y=f(x)是单调递减函数;
③函数f(x)的最小值为lg2;
④在区间(0,1)上,函数f(x)是单调递减函数,其中正确的是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列函数中,在(0,1)上为单调递减的偶函数是(  )
A.y=x-2B.y=x4C.y=x
1
2
D.y=-x
1
3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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