函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若 f(4
题型:解答题难度:一般来源:东城区二模
函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3. |
答案
(1)证明:任取x1<x2, ∴x2-x1>0. ∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)] =f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1), ∴f(x)是R上的增函数. (2)∵f(4)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3. ∴f(3m2-m-2)<3=f(2). 又由(1)的结论知,f(x)是R上的增函数, ∴3m2-m-2<2, 3m2-m-4<0, ∴-1<m<. |
举一反三
函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+4)=f(x),若f(0.5)=9,则f(8.5)等于( ) |
函数f(x)=(a>0且a≠1)是R上的减函数,则a的取值范围是( )A.(0,1) | B.[,1) | C.(0,] | D.(0,] |
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已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是 ______. |
已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),双曲线-=1的两条渐近线为l1、l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如图) (1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程; (2)当=λ时,求λ的最大值. |
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=0,当x∈(-1,0)时函数f(x)的导函数f"(x)<0恒成立.如果f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数a的取值范围为______. |
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