设函数f(x)=2x-12x+1(x∈R)，g(x)=x+4x-299（x∈（0，2]）（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)，g(x)=x+

4

x

-

29

9

（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（Ⅰ） 证明：x∈R，f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，所以f（x）是奇函数．…（3分）
∀x₁，x₂∈（0，2]，当0＜x₁＜x₂≤2，g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴

x1x2-4

x1x2

＜0，
∴g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

＞0，故有g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即

2m-1

2m+1

＜g(2)=

7

9

，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即实数m的取值范围为（-∞，3）．…（13分）