设函数f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3,其中x∈R,t∈R,将f(x)的最小值记为g(t).(1)求g(t)的表达式;(2)讨论g(t)在区间[-
题型:解答题难度:一般来源:湖北模拟
设函数f(x)=x2-2tx+4t3+t2-3t+3,其中x∈R,t∈R,将f(x)的最小值记为g(t). (1)求g(t)的表达式; (2)讨论g(t)在区间[-1,1]内的单调性; (3)若当t∈[-1,1]时,|g(t)|≤k恒成立,其中k为正数,求k的取值范围. |
答案
(1)根据题意得f′(x)=2x-2t=0得x=t,当x<t时,f′(x)<0,函数为减函数;当x>t时,f′(x)>0,函数为减函数.则f(x)的最小值g(t)=f(t)=4t3-3t+3; (2)求出g′(t)=12t2-3=0解得t=±, 当-1≤t<-或≤t≤1时,g′(t)>0,函数为增函数; 当-≤t≤时,g′(t)<0,函数为减函数.所以函数的递增区间为[-1,-]与[,1],递减区间为[-,); (3)由(2)知g(t)的递增区间为[-1,-]与[,1],递减区间为[-,); 又g(1)=4,g(-)=4 ∴函数g(t)的最大值为4, 则g(t)≤4. ∵当t∈[-1,1]时,|g(t)|≤k恒成立, ∴k≥4 |
举一反三
如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用,经过测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大? |
函数f(x)=log(x2-4x+3)的递增区间是( )A.(-∞,1) | B.(3,+∞) | C.(-∞,2) | D.(2,+∞) |
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函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )A.[1,∞) | B.[0,2] | C.(-∞,2] | D.[1,2] |
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已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数. (1)当a=2时,对于任意的m∈[-1,1],n∈[-1,1]求f(m)+f′(n)的最小值; (2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0求a的取值范围. |
已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是______. |
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