已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求实数a的值；（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数． |
答案
（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）2+a（1+x）=（1-x）2+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x2-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=（x12-2x1）-（x22-2x2）
=（x12-x22）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数． |
举一反三
已知函数f（x）=x2-2x-3．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）写出函数y=f（x）的单调区间（不必证明）；
（3）当x∈[-1，2]时，求函数y=f（x）的最大值和最小值． |
| 已知函数f(x)=(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值． |
| 若函数f(x)=在区间（a，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是______． |
| 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等式f（x）+f（x-2）＞1． |
对于函数f(x)=a-(a∈R)：
（Ⅰ） 是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（Ⅱ） 探究函数f（x）的单调性（不用证明），并求出函数f（x）的值域． |
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