试题分析:(Ⅰ)求证:AC1⊥平面A1BC,只需证垂直平面内两条线即可,由于平面平面,,可得,由题意可得,四边形是菱形,由菱形对角线性质可知,,从而可得平面,也可利用向量法,即如图以为轴建立空间直角坐标系,由 知,即可得平面;(Ⅱ)求平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值,可用传统方法,找二面角的平面角,设,作于,连接,则为二面角的平面角,从而求得两平面夹角的余弦值为,还可以利用向量来求,即找出两个平面的法向量,利用法向量的夹角平面AA1B与平面A1BC的夹角的余弦值. 试题解析:解法一: (Ⅰ)由于平面平面,,所以面,所以。(2分) 而是菱形,因此,所以平面。(4分) (Ⅱ)设,作于,连接, 由(1)知平面,即平面,所以 又于,因此, 所以为二面角的平面角,(8分) 在中,,,故直角边, 又因为中斜边 因此中斜边, 所以,所以所求两平面夹角的余弦值为。(12分) 解法二: 如图,取的中点,则,
因为,所以,又平面,(2分) 以为轴建立空间直角坐标系,则,,,,, (Ⅰ),,, 由 知, (5分) 又,从而平面;(6分) (Ⅱ)由(1)知平面的一个法向量为, 再设平面的法向量为,,, 所以,设,则, 故 因此所求两平面夹角的余弦值为。(12分) |