已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a).(I)讨论f(x)在R上的奇偶性;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[-1,12]的最

已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a).(I)讨论f(x)在R上的奇偶性;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[-1,12]的最

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知实数a≤0,函数f(x)=|x|(x-a).
(I)讨论f(x)在R上的奇偶性;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)求函数f(x)在闭区间[-1,
1
2
]的最大值.
答案
(Ⅰ)当a=0时,f(x)=x|x|,此时函数f(x)为奇函数.
当a<0时,f(x)为非奇非偶函数.
(Ⅱ)当a=0时,f(x)=x|x|=





x2,x≥0
-x2,x<0

此时函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).
当a<0时,f(x)=|x|(x-a)=





x(x-a),x≥0
-x(x-a),x<0

此时函数f(x)的增区间为(-∞,
a
2
),(0,+∞),函数f(x)的减区间为[
a
2
,0
].
(Ⅲ)①当
a
2
≤-1即a≤-2
时,f(-1)=-1-a,f(
1
2
)=
1
4
-
a
2

a≤-
5
2
时,f(-1)≥f(
1
2
)
,此时函数f(x)的最大值为f(-1)=-1-a.
-
5
2
<a≤-2
时,f(-1)<f(
1
2
)
,此时函数f(x)的最大值为f(
1
2
)=
1
4
-
a
2

②当-1<
a
2
≤0即-2<a≤0
f(
1
2
)=
1
4
-
a
2
f(
a
2
)=-
a
2
⋅|
a
2
|=
a2
4
f(
1
2
)-f(
a
2
)=
1
4
-
a
2
-
a2
4
=-
1
4
(a+1)2+
1
2
>0

所以f(
1
2
)>f(
a
2
)
,所以当-2<a≤0时,函数f(x)的最大值为f(
1
2
)=
1
4
-
a
2

综上,当a≤-
5
2
时,函数的最大值为f(-1)=-1-a.
-
5
2
<a≤0
时,函数f(x)的最大值为f(
1
2
)=
1
4
-
a
2
举一反三
已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x;
(1)求f(x)的解析式    
(2)求当x∈[0,a](a为大于0的常数)时f(x)的最小值.
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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;      
(2)求不等式f(x)>3+f(x-2)的解集.
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已知定义在R上的函数f(x)=
b-2x
2x+a
是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
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探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的x的值,列表如下:
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已知函数f(x)=x2+2x+3,则f(1)=(  )
A.9B.8C.7D.6