(I)t=+ 要使有t意义,必须1+x≥0且1-x≥0,即-1≤x≤1, ∴t2=2+2∈[2,4],t≥0① t的取值范围是[,2]. 由①得=t2-1 ∴m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t∈[,2]
(II)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值. 注意到直线t=-是抛物线m(t)=at2+t-a的对称轴, 分以下几种情况讨论. (1)当a>0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t=-<0知m(t)在[,2].上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时,m(t)=t,t∈[,2], ∴g(a)=2. (3)当a<0时,函数y=m(t),t∈[,2]的图象是开口向下的抛物线的一段, 若t=-∈[0,],即a≤-则g(a)=m()= 若t=-∈(,2],即-<a≤-则g(a)=m(-)=-a- 若t=-∈(2,+∞),即-<a<0则g(a)=m(2)=a+2 综上有g(a)=
(III)情形1:当a<-2时>-, 此时g(a)=,g()=+2 由2+=解得a=-1-,与a<-2矛盾. 情形2:当-2≤a<-,-<≤-时, 此时g(a)=,g()=--=-- 解得,a=-与a<-矛盾. 情形3:当-≤a≤-,-≤≤-时, 此时g(a)==g() 所以-≤a≤-, 情形4:当-<a≤-时,-2≤<-, 此时g(a)=-a-,g()=-a-=, 解得a=-,与a>-矛盾. 情形5:当-<a<0时,<-2, 此时g(a)=a+2,g()= 由a+2=解得a=-2,与a>-矛盾. 情形6:当a>0时,>0, 此时g(a)=a+2,g()=+2 由a+2=+2解得a=±1,由a>0得a=1. 综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:-≤a≤-,或a=1 |