已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值; (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x)在区间[
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已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值; (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x)在区间[
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
2
x
-
x
m
,且
f(4)=-
7
2
.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明;
(3)求函数f(x)在区间[-5,-1]上的最值.
答案
(1)由
f(4)=-
7
2
得:
2
4
-
4
m
=-
7
2
,
即:4
m
=4,解得:m=1;…(2分)
(2)函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.…(3分)
证明:设0<x
1
<x
2
,
则
f(
x
2
)-f(
x
1
)=(
2
x
2
-
x
2
)-(
2
x
1
-
x
1
)=(
2
x
2
-
2
x
1
)+(
x
1
-
x
2
)
=
(
x
1
-
x
2
)(1+
2
x
2
x
1
)
;…(5分)
∵0<x
1
<x
2
∴
(
x
1
-
x
2
)(1+
2
x
2
x
1
)<0
,
即f(x
2
)-f(x
1
)<0,
∴f(x
2
)<f(x
1
),
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.…(7分)
(3)由(1)知:函数
f(x)=
2
x
-x
,其定义域为{x|x≠0}.…(8分)
∴
f(-x)=
2
-x
-(-x)=-(
2
x
-x)=-f(x)
,即函数f(x)为奇函数.…(9分)
由(2)知:f(x)在[1,5]上为减函数,则函数f(x)在区间[-5,-1]上为减函数.…(10分)
∴当x=-5时,f(x)取得最大值,最大值为
f(-5)=-
2
5
+5=
23
5
;
当x=-1时,f(x)取得最小值,最小值为f(-1)=-2+1=-1.…(12分)
(其他解法请参照给分)
举一反三
设函数
f(x)=
ax+1
x+2
在区间(-2,+∞)
上是单调递增函数,那么a的取值范围是( )
A.
0<a<
1
2
B.
a>
1
2
C.a<-1或a>1
D.a>-2
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a,b,总有
f(a)-f(b)
a-b
>0
成立,则必有( )
A.函数f(x)是先增加后减少
B.函数f(x)是先减少后增加
C.f(x)在R上是增函数
D.f(x)在R上是减函数
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
有一个函数y=f(x),甲乙丙丁四个学生各指出这个函数的一个性质;
甲:对于x∈R,都有f(1+x)=f(1-x) (即函数图象关于x=1对称)
乙:在(-∞,0)上函数递减
丙:在(0,+∞)上函数递增
丁:f(0)不是函数的最小值,
如果其中恰有三个人说得正确,请写出一个这样的函数______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数. 当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时,有
f(a)+f(b)
a+b
>0
成立.
(Ⅰ)判断函f(x)的单调性,并证明;
(Ⅱ)若f(1)=1,且f(x)≤m
2
-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
x,x≥0
x
2
,x<0
,则f(f(-1))______.
题型:填空题
难度:一般
|
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