已知函数f(x)=x+1x-2,x∈[3,7].(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.

已知函数f(x)=x+1x-2,x∈[3,7].(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x+1
x-2
,x∈[3,7].
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
答案
(1)函数f(x)在区间[3,7]内单调递减,证明如下:
在[3,7]上任意取两个数x1和x2,且设x1>x2
∵f(x1)=
x1+1
x1-2
,f(x2)=
x2+1
x2-2

∴f(x1)-f(x2)=
x1+1
x1-2
-
x2+1
x2-2
=
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)

∵x1,x2∈[3,7],x1>x2
∴x1-2>0,x2-2>0,x2-x1<0,
∴f(x1)-f(x2)=
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
<0.
即f(x1)<f(x2),由单调函数的定义可知,函数f(x)为[3,7]上的减函数.
(2)由单调函数的定义可得f(x)max=f(3)=4,f(x)min=f(7)=
8
5
举一反三
若f(x-1)=1+lgx,则f(9)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=(
1
2
丨x-1丨,使f(x)是增函数的x的区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=
x2
x-1
(x∈R,且x≠1)的单调递增区间是______.
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已知函数f(x)=x+
x3
3
…+
x2m-1
2m-1
,g(x)=
x2
2
+
x4
4
…+
x2n
2n
,定义域为R,m,n∈N,h1(x)=c+f(x)-g(x),h2(x)=c-f(x)+g(x)
(1)若n=1,m=2,求h1(x)的单调区间;若n=2,m=2,求h2(x)的最小值.
(2)(文科选做)若m=n,c=0时,令T(n)=h2(1),求T(n)的最大值.
    (理科选做)若m=n,c=0时,令T(n)=h1(1),求证:T(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n

(3)若m=n+1,c=1时,F(x)=h1(x+3)h2(x-2)且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,求b-a的最小值.
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已知函数f(x)=asinx+btanx+1,满足f(1)=6,则f(-1)=______.
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