已知函数．（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）当时，求函数在上的最值；（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值

题型：解答题难度：一般来源：广东省月考题

已知函数．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当时，求函数在上的最值；
（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

答案

解：（1）证明：设x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），则x₂﹣x₁＞0，x₁x₂＞0．
∵f（x₂）﹣f（x₁）=，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）当时，；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
∴
∴f（x）的最小值为，此时；无最大值．
（3）依题意，，即在[1，2]上恒成立．
∴函数在[1，2]上单调递减，
∴g（x）max=4
∴，
又a＞0．
∴，a的取值范围是．