已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0。(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)设函数f(x)

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0。(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (2)设函数f(x)

题型:解答题难度:困难来源:湖南省高考真题
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0。
(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
答案
解:(1)

因为函数h(x)存在单调递减区间,
所以<0有解
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根,此时,-1<a<0
综上所述,a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞)。
(2)设点P、Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),0<x1<x2
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则k1=k2
,则


所以



因为时,
所以)上单调递增


这与①矛盾,假设不成立
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
举一反三
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则[     ]
A.f(sin)<f(cos)
B.f(sin)>f(cos)
C.f(sin1)<f(cos1)
D.f(sin)>f(cos)
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已知x≥,则

[     ]

A.最大值
B.最小值
C.最大值1
D.最小值1
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设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题:
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;
③若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减;
其中,正确的命题是

[     ]
A、①③
B、①④
C、②③
D、②④
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设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0.且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是[     ]
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
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设f(x)、g(x)都是单调函数,有如下四个命题中,正确的命题是
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减;[     ]
A.①③ 
B.①④ 
C.②③ 
D.②④
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