设f(x)=x+4x，（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(x)=x+

4

x

，
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．

答案

（1）由f(x)=x+

4

x

知，定义域为{x|x≠0}
显然，定义域关于原点对称．
f(-x)=-x+

4

-x

=-(x+

4

x

)=-f（x）
所以．f（x）为奇函数
（2）①任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
由题意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2]
则x₁-x₂＜0；
0＜x₁x₂＜4，

4

x1x2

＞1，所以1-

4

x1x2

＜0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＞0
故f（x₁）＞f（x₂）
所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
②任取x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
由题意，f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)
=（x₁-x₂）+4

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）
因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈[2，+∞）
则x₁-x₂＜0；
x₁x₂＞4，0＜

4

x1x2

＜1，所以1-

4

x1x2

＞0
=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）＜0
故f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数．
∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．