(1)因为y=f(x)为偶函数,所以∀x∈R,f(-x)=f(x), 即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于∀x∈R恒成立. 即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9-log9(9x+1)=-x恒成立 即(2k+1)x=0恒成立, 而x不恒为零,所以k=-. (2)由题意知方程log9(9x+1)-x=x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解. 令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点. 因为g(x)=log9=log9(1+) 任取x1、x2∈R,且x1<x2,则0<9x1<9x2,从而>. 于是log9(1+)>log9(1+),即g(x1)>g(x2), 所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数. 因为1+>1,所以g(x)=log9(1+)>0.所以b的取值范围是(-∞,0]. (3)由题意知方程3x+=a•3x-a有且只有一个实数根. 令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-at-1=0(记为(*))有且只有一个正根. 若a=1,则t=-,不合,舍去; 若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根. 由△=0⇒a=或-3;但a=⇒t=-,不合,舍去;而a=-3⇒t=; 方程(*)的两根异号⇔(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1. 综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞). |