已知函数f(x)=x3-ax,g(x)=12x2-lnx-52(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求实数a的

已知函数f(x)=x3-ax,g(x)=12x2-lnx-52(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求实数a的

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3-ax,g(x)=
1
2
x2-lnx-
5
2

(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求实数a的取值范围;
(2)记G(x)=
1
2
x2-
5
2
-g(x)
,求证:G(x)>
1
ex
-
2
ex
答案
(1)原不等式可化为:x3-ax≥2x(
1
2
x2-lnx-
5
2
)-x2+5x-3
,化简得:ax≤2xlnx+x2+3,
∵x>0,故上式可化为a≤2lnx+
3
x
+
x恒成立,则问题等价于a≤(2lnx+
3
x
+x)min

t(x)=2lnx+
3
x
+x,(x>0),t(x)=
x2+2x-3
x2

令t′(x)=0,得x=1,
∵x>0,∴在(0,1)上,t′(x)<0,在(1,+∞)上,t′(x)>0,
∴t(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故当x=1时,t(x)有最小值为4,故a≤4,
∴实数a的取值范围是a∈(-∞,4];
(2)化简得,G(x)=lnx,则原不等式可化为lnx>
1
ex
-
2
ex
,即证xlnx>
x
ex
-
2
e
成立,
记F(x)=xlnx,则F"(x)=lnx+1,
当0<x<
1
e
时,F"(x)<0,F(x)递减;当x>
1
e
时,F"(x)>0,F(x)递增,
故当x=
1
e
时,F(x)取得极小值,也为最小值,其最小值为F(
1
e
)=-
1
e

H(x)=
x
ex
-
2
e
,则H"(x)=
1-x
ex

当0<x<1时,H"(x)>0,H(x)递增;当x>1时,H"(x)<0,H(x)递减;
故当x=1时,H(x)取得极大值,也为最大值,其最大值为H(1)=-
1
e

由函数F(x)的最小值与函数H(x)的最大值不能同时取到,
故x∈(0,+∞)时,F(x)>H(x),故原不等式成立.
举一反三
设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+3)=f(x).当0≤x≤1时有f(x)=2x,则f(8.5)=______.
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已知以T=4为周期的函数f(x)在(-1,3]上的解析式为f(x)=





-m|x|x∈(-1,1)
1-(x-2)2x∈[1,3]
,其中m>0,若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为______.
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若函数y=f(x)在R上是偶函数,当x>0时,f(x)=2x-x2,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2013+ax3-
b
x
-8,f(-2)=10,则f(2)=______.
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若关于x的不等式x2-(a-1)x>-4对于x∈R恒成立,则a的取值范围是______.
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