已知函数f(x)=-2x+n2x+1+m图象关于原点对称,定义域是R.(1)求m、n的值;(2)若对任意t∈[-2,2],f(tx-2)+f(x)>0恒成立,求
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已知函数f(x)=-2x+n2x+1+m图象关于原点对称,定义域是R.(1)求m、n的值;(2)若对任意t∈[-2,2],f(tx-2)+f(x)>0恒成立,求
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
-
2
x
+n
2
x+1
+m
图象关于原点对称,定义域是R.
(1)求m、n的值;
(2)若对任意t∈[-2,2],f(tx-2)+f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围.
答案
(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即
-1+n
2+m
=0
,解得n=1,
从而有
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+m
,
又由f(1)=-f(-1)知
-2+1
4+m
=
-
1
2
+1
1+m
,
解得m=2
(2)由(1)知
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=-
1
2
+
1
2
x
+1
,
易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
又∵f(x)是奇函数,
∴f(2-tx)=-f[-(2-tx)]=-f(tx-2),f(tx-2)+f(x)>0
即f(x)>f(2-tx)
即x<2-tx,
即xt+x-2<0对任意的t∈[-2,2]恒成立
∴
-2x+x-2<0
2x+x-2<0
∴
x>-2
x<
2
3
解得:
x∈(-2,
2
3
)
.
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则
f(-
5
2
)
=( )
A.-
1
2
B.-
1
4
C.
1
4
D.
1
2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=f(x+2),且f(1)=2,则f(2011)-f(2010)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x
2
+a•cosπx,若f(1)=2,则实数a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=1,x∈[-2,2]的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
题型:单选题
难度:简单
|
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对于数列{a
n
},若存在确定的自然数T>0,使得对任意的自然数n∈N
*
,都有:a
n+T
=a
n
成立,则称数列{a
n
}是以T为周期的周期数列.
(1)记S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,若{a
n
}满足a
n+2
=a
n+1
-a
n
,且S
2
=1007,S
3
=2010,求证:数列{a
n
}是以6为周期的周期数列,并求S
2009
;
(2)若{a
n
}满足
a
1
=p∈[0,
1
2
)
,且a
n+1
=-2a
n
2
+2a
n
,试判断{a
n
}是否为周期数列,且说明理由;
(3)由(1)得数列{a
n
},又设数列{b
n
},其中
b
n
=
a
n
+2n+
2009
2
n
,问是否存在最小的自然数n(n∈N
*
),使得对一切自然数m≥n,都有b
m
>2009?请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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