奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(4+x)+f(-x)=0,且f(1)=9则f(2011)+f(2012)+f(2013)的值为( )A.6B.7C.8D
题型:单选题难度:简单来源:不详
奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(4+x)+f(-x)=0,且f(1)=9则f(2011)+f(2012)+f(2013)的值为( ) |
答案
因为f(x)为奇函数,所以由f(4+x)+f(-x)=0,得f(4+x)=-f(-x)=f(x),即函数的周期是4. 所以f(2011)=f(503×4-1)=f(-1)=-f(1),f(2012)=f(503×4)=f(0),f(2013)=f(503×4+1)=f(1), 所以f(2011)+f(2012)+f(2013)=-f(1)+f(0)+f(1)=f(0), 因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0, 所以f(2011)+f(2012)+f(2013)=f(0)=0. 故选D. |
举一反三
已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1)=0,当x>0时有>0,则不等式xf(x)>0的解集为( )A.(-1,0) | B.(-1,0)∪(1,+∞) | C.(1,+∞) | D.(-∞,-1)∪(1,+∞) |
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定义域R的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时f(x)+xf"(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)•f(logπ3),c=-2f(-2),则( )A.a>c>b | B.c>b>a | C.c>a>b | D.a>b>c |
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若函数f(x)=,则f(x)的对称中心是______. |
【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立. (1)求f(x)的表达式; (2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A. (3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
设函数f(x)=x2sinx+2,若f(a)=15,则f(-a)=______. |
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