【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.(1)求f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
【解析图片】设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意实数x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立. (1)求f(x)的表达式; (2)若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求实数n的取值的集合A. (3)若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|对任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
答案
(1)由x-1=x2-3x+3可得x=2, 故由题可知1≤f(2)≤1, 从而f(2)=1. 因此, 故b=-a,c=-2a.由x-1≤f(x) 得ax2-(+a)x+-2a≥0对x∈R恒成立, 故△=(+a)2-4a(-2a)≤0, 即9a2-4a+≤0, 解得a=, 故f(x)=x2+- (2)由x2+-≤nx-1 得2x2+(1-9n)x+8≤0, 故△=(1-9n)2-64≥0, 解得n≤-或n≥1,从而A=(-∞,-]∪[1,+∞) (3)显然|x1-x2|≥0,当且仅当n=-或n=1时取得等号, 故m2+tm+1≤0对t∈[-3,3]恒成立.记g(t)=m•t+(m2+1), 则有 | g(-3)=m2-3m+1≤0 | g(3)=m2+3m+1≤0 |
| | , 即, 故m∈∅,不存在这样的实数m |
举一反三
设函数f(x)=x2sinx+2,若f(a)=15,则f(-a)=______. |
设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=( ) |
函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=______. |
定义在R上的函数f(x)=(a,b∈R且a≠0)是奇函数,当x=1时,f(x)取得最大值. (1)求a、b的值; (2)设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线l与y轴的交点为(0,t),求实数t的取值范围. |
已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+3)=-f(x),当-3≤x≤0时,f(x)=2x+3,则f(2012.1)=______. |
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