已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．
题型：解答题难度：一般来源：浙江模拟
已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，
（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值． |
答案
（1）当a=1时，f（x）=x3-3|x-1|，（2分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
∴f(x)=，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f"（x）=3x2+3a，由于a＞0，故f"（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-)(x+)，
令f"（x）=0，可得两极值点x=-或x=，
①若0＜a≤1，则≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则＞1，可得f（x）在[1，)内单调递减，(，+∞)内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f()=()3-3a+3a=-2a+3a，
此时[f(x)]min=min{f(0)，f()}
而f()-f(0)=-2a+3a-(-3a)=-2a+6a=-2a(-3)
可得1＜a≤9时，f()≥f(0)，a＞9时，f()＜f(0)（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f()=-2a+3a（15分） |
举一反三
| 函数f(x)=是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，则a等于（ ） |
已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；
（2）设F（x）=若P是曲线y=F（x）上异于原点O的任意一点，在曲线y=F（x）上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围． |
| 奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（4+x）+f（-x）=0，且f（1）=9则f（2011）+f（2012）+f（2013）的值为（ ） |
已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=0，当x＞0时有＞0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）| A．（-1，0） | B．（-1，0）∪（1，+∞） | C．（1，+∞） | D．（-∞，-1）∪（1，+∞） |
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定义域R的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时f（x）+xf"（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=-2f（-2），则（ ）| A．a＞c＞b | B．c＞b＞a | C．c＞a＞b | D．a＞b＞c |
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