已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x)-x的最大值;(2)若∀x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=lnx.(1)求函数g(x)=f(x)-x的最大值;(2)若∀x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:龙泉驿区模拟
已知函数f(x)=lnx.
(1)求函数g(x)=f(x)-x的最大值;
(2)若∀x>0,不等式f(x)≤ax≤x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)g(x)=f(x)-x=lnx-x(x>0),则g′(x)=
1
x
-1=
1-x
x

当x∈(0,1)时,g′(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以,g(x)在x=1处取得最大值,且最大值为-1.     …(3分)
(2)由条件得





a≥
lnx
x
a≤x+
1
x
在x>0上恒成立.
设h(x)=
lnx
x
,则h′(x)=
1-lnx
x2

当x∈(0,e)时,h′(x)>0;当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,
所以,h(x)≤
1
e

要使f(x)≤ax恒成立,必须a≥
1
e

另一方面,当x>0时,x+
1
x
≥2,要使ax≤x2+1恒成立,
必须a≤2.
所以,满足条件的a的取值范围是[
1
e
,2].            …(7分)
举一反三
设函数f(x)=
x
(x+1)(x-sina)
为奇函数,则a=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=x-
1
x
,对任意x∈[1,+∞),f(2mx)+2mf(x)<0恒成立,则实数 m的取值范围是(  )
A.(-∞,-
1
2
)
B.(-
1
2
,0)
C.(-
1
2
1
2
)
D.(0,
1
2
)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,g(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,g(x)=f(x-1),g(3)=2013,则f(2014)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x)=f(x+4),且f(1)=-1,则f(1)+f(2)…+f(10)的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
己知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,设a=f(-
1
2
),b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为(  )
A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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