在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=an2n-1(n∈N*),证明:数列{bn}是等差数列;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=an2n-1(n∈N*),证明:数列{bn}是等差数列;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,

题型:解答题难度:一般来源:闵行区二模
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n
(1)设bn=
an
2n-1
(n∈N*),证明:数列{bn}是等差数列;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值;
(3)设cn=2bn-1,数列{cn}的前n项和为Tndn=
Tn
4
a2n
-Tn
,是否存在实数t,使得对任意的正整数n和实数m∈[1,2],都有d1+d2+d3+…+dn≥log8(2m+t)成立?请说明理由.
答案
(1)an+1=2an+2n
an+1
2n
=
an
2n-1
+1
,(2分)
bn+1=bn+1,故{bn}为等差数列,b1=1,bn=n.(4分)
(2)由(1)可得an=n2n-1(6分)
Sn=1•20+2•21+3•22+n•2n-1
2Sn=1•21+2•22+3•23+(n-1)•2n-1+n•2n
两式相减,得-Sn=20+21+22+2n-1-n•2n=2n-1-n•2n,即Sn=(n-1)2n+1(8分)
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
=
lim
n→∞
(n-1)2n+1
n•2n+1
=
1
2
(10分)
(3)由(1)可得Tn=n2,(12分)
dn=
Tn
4
a2n
-Tn
=
1
4n-1
(d1+d2+d3++dn+dn+1)-(d1+d2+d3++dn)=dn+1=
1
4n+1-1
>0

∴{d1+d2+d3++dn}单调递增,即d1+d2+d3++dnd1=
1
3
,(14分)
要使d1+d2+d3++dn≥log8(2m+t)对任意正整数n成立,
必须且只需
1
3
≥log8(2m+t)
,即0<2m+t≤2对任意m∈[1,2]恒成立.(16分)
∴[2+t,4+t]⊆(0,2],即





2+t>0
4+t≤2
⇒-2<t≤-2
矛盾.
∴满足条件的实数t不存在.
举一反三
对于函数f(x)=mx-|x+1|(x∈[-2,+∞)),若存在闭区间[a,b][-2,+∞)(a<b),使得对任意x∈[a,b],恒有f(x)=c(c为实常数),则实数m=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
不等式|x-1|+|x+1|≥4a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
(理)已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2


3
cos2ωx+1+


3
(x∈R
,ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若不等式|f(x)-m|<2在[
π
4
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知二次函数y=ax2+(b+
2
3
)x+c+3
是偶函数且图象经过坐标原点,记函数f(x)=


x
•(ax2+bx+c)

(I)求b、c的值;
(II)当a=
1
5
时,求函数f(x)的单调区间;
(III)试讨论函数f(x)的图象上垂直于y轴的切线的存在情况.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若x∈R,n∈N*,定义:Mxn=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如M3-5=(-5)•(-4)(-3)=-60,则函数f(x)=M7x-3cos
2005
2006
x
(  )
A.是偶函数不是奇函数
B.是奇函数不是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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