已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1),设y3=18,y6=12.(1)求数列{yn}的前多少项和最

已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1),设y3=18,y6=12.(1)求数列{yn}的前多少项和最

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数列{yn}满足ynlogxna=2(a>0,a≠1),设y3=18,y6=12.
(1)求数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少?
(2)试判断是否存在自然数M,使当n>M时,xn>1恒成立?若存在,求出相应的M,若不存在,请说明理由;
(3)令an=logxnxn+1(n>13,n∈N),试判断数列{an}的增减性?
答案
(1)由已知得:yn=2logaxn设等比数列{xn}的公比为q(q≠1)
yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga
xn+1
xn
=2logaq
得{yn}为等差数列,设公差为d
∵y3=18,y6=12,∴d=-2;∴yn=y3+(n-3)d=24-2n
设前k项为最大,则





yk+1≤0
yk≥0
⇒11≤k≤12
y12=0
∴前11项和前12项和为最大,其和为132
(2)xn=a12-n,n∈N*;若xn>1,则a12-n>1
当a>1时,n<12,显然不成立;当0<a<1时,n>12
∴存在M=12,13,14,…,当n>M时,xn>1
(3)an=logxnxn+1=lo
g12-na
a12-(n+1)=
n-11
n-12

an+1-an=
n-10
n-11
-
n-11
n-12
=
-1
(n-11)(n-12)
<0

∴an+1<an∴n>13时数列{an}为递减数列
举一反三
将奇函数的图象关于原点(即(0,0))对称这一性质进行拓广,有下面的结论:
①函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b的充要条件是y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.
②函数y=f(x)满足F(x)=f(x+a)-f(a)为奇函数的充要条件是y=f(x)的图象关于点(a,f(a))成中心对称(注:若a不属于x的定义域时,则f(a)不存在).
利用上述结论完成下列各题:
(1)写出函数f(x)=tanx的图象的对称中心的坐标,并加以证明.
(2)已知m(m≠-1)为实数,试问函数f(x)=
x+m
x-1
的图象是否关于某一点成中心对称?若是,求出对称中心的坐标并说明理由;若不是,请说明理由.
(3)若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4
的图象关于点(
2
3
,f(
2
3
))
成中心对称,求t的值.
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已知f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,g(x)=f(x-2)+1.当x∈[-2,0)∪(0,2]时,g(x)=
4
x2
,且g(0)=0,则方程g(x)=log
1
2
(x+1)
的解的个数为______.
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若不等式
t
t2+2
≤a≤
t+2
t2
,在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是______.
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已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时.应该有f′(x)______0,g′(x)______0.
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在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n
(1)设bn=
an
2n-1
(n∈N*),证明:数列{bn}是等差数列;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求
lim
n→∞
Sn
n•2n+1
的值;
(3)设cn=2bn-1,数列{cn}的前n项和为Tndn=
Tn
4
a2n
-Tn
,是否存在实数t,使得对任意的正整数n和实数m∈[1,2],都有d1+d2+d3+…+dn≥log8(2m+t)成立?请说明理由.
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