(1)∵f(x)=x3-ax , g(x)=x2-lnx-, ∴f′(x)=3x2-a,g′(x)=x-, 令g′(x)=x-=0,得x=1,(x=-1舍) 当0<x<1时,g′(x)0. ∴当x=1时,g(x)有极小值g(1)=-2. ∵g(x)与f(x)在同一点处有相同的极值, ∴f(1)=-2,且f′(1)=0,即, 解得a=3. (2)不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3转化为: x3-ax≥2x(x2-lnx-)-x2+5x-3, 化简,得ax≤2xlnx+x2+3, ∵x∈(0,+∞), ∴a≤2lnx++x, ∵对一切x∈(0,+∞),不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立, ∴a≤(2lnx++x)min, 记t(x)=2lnx++x,x>0,则t′(x)=(2lnx++x)′=-+1=, 令t′(x)=0,得=0,解得x=1. 在(0,1)上,t′(x)<0;在(1,+∞)上,t′(x)>0. 故当x=1时,t(x)有极小值为4, 故a∈(-∞,4]. (3)证明:∵g(x)=x2-lnx-, ∴G(x)=x3-x-xg(x)+ =x3-x-x3+xlnx+x+ =xlnx+, ∵当x≥1时,总有G(x)≤x2成立, ∴当x≥1时,总有G(x)≤x2成立≥1时,总有xlnx≤x2-. 设F(x)=xlnx+-x2,x≥1 则F′(x)=lnx+1-x,令F′(x)=0,得x=1. 当x>1时,F′(x)<0,F(x)是减函数, ∴F(x)=xlnx+-x2≤0. 故当x≥1时,总有G(x)≤x2成立. |