已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R)．（I）求g（x）的表达

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已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R)．（I）求g（x）的表达

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x-1≤g（x）≤x2-x恒成立，且g（-1）=0，令f(x)=g(x)+mlnx+
1
2
(m∈R)．
（I）求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．
答案
解（I）设g（x）=ax2+bx+c（a≠0），
由题意令x=1得0≤g（1）≤0∴g（1）=0，
∴





a+b+c=0
a-b+c=0
得b=0，a+c=0，
∵x-1≤g（x）≤x2-x对∀x∈R恒成立，
∴ax2-a≥x-1和ax2-a≤x2-x恒成立，
得a=
1
2
，
∴g(x)=
1
2
x2-
1
2
．

（II）f(x)=g(x)+mlnx+
1
2
(m∈R，x＞0)=
1
2
x2+mlnx，
f′(x)=x+
m
x

当m＞0时，f（x）的值域为R
当m=0时，f(x)=
1
2
x2＞0对∀x＞0，f(x)＞0恒成立
当m＜0时，令f′(x)=0⇒x=


-m

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x(0，


-m
)


-m
(


-m
，+∞)
f"（x）-0+
f（x）↘极小↗
下列函数中，是奇函数的是（　　）
A．y=-sin2xB．y=-cos2xC．y=x2+1D．y=x3+1
已知函数f(x)=


x
+a，g(x)=x+2a


x
(a＞0)，
（1）当a=1时，求|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|的最小值；  
（2）|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．
已知f(x)=


1-x2
|x+2|-2
•lg(


1+x2
-x)的奇偶性是______．
已知奇函数f(x)=





x2-2x+2  (x＜0)
ax2+bx+c (x＞0)
(a，b，c∈R)，则a+b+c的值是（　　）
A．-5B．5C．1D．-1
函数f（x）=|x|+x2是（　　）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数