已知二次函数g(x)对任意实数x不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立,且g(-1)=0,令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R).(I)求g(x)的表达
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已知二次函数g(x)对任意实数x不等式x-1≤g(x)≤x2-x恒成立,且g(-1)=0,令f(x)=g(x)+mlnx+12(m∈R).(I)求g(x)的表达
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数g(x)对任意实数x不等式x-1≤g(x)≤x
2
-x恒成立,且g(-1)=0,令
f(x)=g(x)+mlnx+
1
2
(m∈R)
.
(I)求g(x)的表达式;
(Ⅱ)若∃x>0使f(x)≤0成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设1<m≤e,H(x)=f(x)-(m+1)x,证明:对∀x
1
,x
2
∈[1,m],恒有|H(x
1
)-H(x
2
)|<1.
答案
解(I)设g(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),
由题意令x=1得0≤g(1)≤0∴g(1)=0,
∴
a+b+c=0
a-b+c=0
得b=0,a+c=0,
∵x-1≤g(x)≤x
2
-x对∀x∈R恒成立,
∴ax
2
-a≥x-1和ax
2
-a≤x
2
-x恒成立,
得
a=
1
2
,
∴
g(x)=
1
2
x
2
-
1
2
.
(II)
f(x)=g(x)+mlnx+
1
2
(m∈R,x>0)
=
1
2
x
2
+mlnx
,
f′(x)=x+
m
x
当m>0时,f(x)的值域为R
当m=0时,
f(x)=
1
2
x
2
>0对∀x>0,f(x)>0
恒成立
当m<0时,令
f′(x)=0⇒x=
-m
x
(0,
-m
)
-m
(
-m
,+∞)
f"(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小
↗
举一反三
下列函数中,是奇函数的是( )
A.y=-sin2x
B.y=-cos2x
C.y=x
2
+1
D.y=x
3
+1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
x
+a,g(x)=x+2a
x
(a>0)
,
(1)当a=1时,求
|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|
的最小值;
(2)
|
ag(x)+3f(x)
f(x)
|>5
对x∈[1,4]恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知
f(x)=
1-
x
2
|x+2|-2
•lg(
1+
x
2
-x)
的奇偶性是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知奇函数
f(x)=
x
2
-2x+2 (x<0)
a
x
2
+bx+c (x>0)
(a,b,c∈R)
,则a+b+c的值是( )
A.-5
B.5
C.1
D.-1
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=|x|+x
2
是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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