关于函数f(x)=(x-3)e-x,x≥02ax-3,x<0(a为常数,且a>0),对于下列命题:①函数f(x)在每一点处都连续;②若a=2,则函数f(x)在x

关于函数f(x)=(x-3)e-x,x≥02ax-3,x<0(a为常数,且a>0),对于下列命题:①函数f(x)在每一点处都连续;②若a=2,则函数f(x)在x

题型:填空题难度:一般来源:武昌区模拟
关于函数f(x)=





(x-3)e-x,x≥0
2ax-3,x<0
(a为常数,且a>0),对于下列命题:
①函数f(x)在每一点处都连续;
②若a=2,则函数f(x)在x=0处可导;
③函数f(x)在R上存在反函数;
④函数f(x)有最大值
1
e4

⑤对任意的实数x1>x2≥0,恒有f(
x1+x2
2
)<
f(x1)+f(x2)
2

其中正确命题的序号是______.
答案
①x=0时,(0-3)e0=-3,x=0时,2ax-3有意义,且2ax-3=-3,
∴函数f(x)在x=0处都连续,即函数f(x)在每一点处都连续;
∴①正确
②f′(x)=





e-x(4-x)  x≥0
2a         x<0
(a>0),
x=0时,e0(4-0)=4,令2a=4得a=2,
∴a=2,函数f(x)在x=0处可导;
∴②正确
③令f′(x)>0,得x<4,令f′(x)<0,得x>4,
∴f(x)在(-∞,4]上是增函数,在[4,+∞)上是减函数,
∴函数f(x)在R上不存在反函数;
∴③错误
④令f′(x)=0,得x=4,x<4时,f′(x)>0,x>4时,f′(x)<0,
∴x=4时,f(x)有最大值为f(4)=e-4=
1
e4

∴④正确
⑤在函数f(x)[0,+∞)上任取两点(x1,f(x1))(x2,f(x2))
∵f(x)的图象在[0,+∞)上是上凸的,所以两点连线应在图象的下方,
∴f(
x1+x2
2
)>
f(x1) +f(x2)
2

∴⑤错误.
故答案为①②④
举一反三
已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R),函数g(x)=㏑x.
(1)当a=1时,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值;
(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点),求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,设h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1].求h(x)的最大值F(a)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=x4+(m-1)x+1为偶函数,则实数m的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,且当x∈(0,1)时,g(x)=1nx-ax2
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间(0,1)上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知向量


a
=(cosx-3,sinx),


b
=(cosx,sinx-3),f(x)=


a


b

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;
(2)若x∈[-π,0],求函数f(x)的单调增区间;π
(3)若不等式|f(x)-m|<1在x∈[
π
4
π
2
]上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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