已知奇函数f(x)=1+m4x+1.(1)求m的值;(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.

已知奇函数f(x)=1+m4x+1.(1)求m的值;(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知奇函数f(x)=1+
m
4x+1

(1)求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;
(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.
答案
(1)f(x)=1+
m
4x+1

因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,
1+
m
4x+1
+1+
m
4-x+1
=0
2+
m
4x+1
+
m•4x
1+4x
=0
2+
m(1+4x)
1+4x
=0
,2+m=0,m=-2. 
(2)设任意的x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=1-
2
4x1+1
-(1-
2
4x2+1
)
=
2
4x2+1
-
2
4x1+1
=
2(4x1-4x2)
(4x1+1)(4x2+1)

因为y=4x在R上是增函数,且x1<x2
所以4x14x2,所以4x1-4x2<0
4x1+1>0,4x2+1>0
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)是R上的增函数.      
(3)因为函数f(x)为增函数又是定义在R上的奇函数,
所以f(x-1)>f(3x-2),
所以x-1>3x-2,解得x<
1
2

所以原不等式的解集为{x|x<
1
2
}
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax+b
,其中实数a,b是常数.
(Ⅰ)已知a∈{0,1,2},b∈{0,1,2},求事件A:“f(1)≥0”发生的概率;
(Ⅱ)若f(x)是R上的奇函数,g(a)是f(x)在区间[-1,1]上的最小值,求当|a|≥1时g(a)的解析式;
(Ⅲ)记y=f(x)的导函数为f′(x),则当a=1时,对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2]使得f(x1)=f′(x2),求实数b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设奇函数f(x)满足:对∀x∈R有f(x+1)+f(x)=0,则f(5)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x)满足f(-x)=f(2+x),且在[-1,0]上单调递增,设a=f(3),b=f(
1
2
)
,c=f(2),则a,b,c大小关系是(  )
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若不等式a(2x2+y2)≥x2+2xy对任意非零实数x,y恒成立,则实数a的最小值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=(x-1)(x+m)为偶函数,则m=______;函数f(x)的零点是x=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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