已知函数f(x)=3x+1-13x-1,函数g(x)=2-f(-x).(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,
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已知函数f(x)=3x+1-13x-1,函数g(x)=2-f(-x).(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
3
x+1
-1
3
x
-1
,函数g(x)=2-f(-x).
(Ⅰ)判断函数g(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若当x∈(-1,0)时,g(x)<tf(x)恒成立,求实数t的最大值.
答案
(Ⅰ)因为
f(x)=
3
x+1
-1
3
x
-1
,函数g(x)=2-f(-x).
所以
g(x)=2-
3
-x+1
-1
3
-x
-1
=2-
3-
3
x
1-
3
x
=
3
x
+1
3
x
-1
,定义域为{x|x≠0}关于原点对称,
因为
g(-x)=
3
-x
+1
3
-x
-1
=
1+
3
x
1-
3
x
=-
3
x
+1
3
x
-1
=-g(x)
,
所以g(x)是奇函数.
(Ⅱ)由g(x)<tf(x)得,
3
x
+1
3
x
-1
<t•
3
x+1
-1
3
x
-1
,(*)
当x∈(-1,0)时,
1
3
<
3
x
<1
,
-
2
3
<
3
x
-1<0
,
(*)式化为3
x
+1>t(3
x+1
-1),(**) …(9分)
设3
x
=u,
u∈(
1
3
,1)
,则(**) 式化为 (3t-1)u-t-1<0,…(11分)
再设h(u)=(3t-1)u-t-1,
则g(x)<tf(x)恒成立等价于
h(
1
3
)≤0
h(1)≤0
,
(3t-1)•
1
3
-t-1≤0
(3t-1)•1-t-1≤0
,
t∈R
t≤1
,
解得t≤1,故实数t的最大值为1.…(14分)
举一反三
已知不等式2x-1>m(x
2
-1).
(1)若对于所有实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;
(2)若对于m∈[-2,2]不等式恒成立,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),则f(x)的周期是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知奇函数
f(x)=1+
m
4
x
+1
.
(1)求m的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并加以证明;
(3)解不等式f(x-1)+f(2-3x)>0.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-ax+b
,其中实数a,b是常数.
(Ⅰ)已知a∈{0,1,2},b∈{0,1,2},求事件A:“f(1)≥0”发生的概率;
(Ⅱ)若f(x)是R上的奇函数,g(a)是f(x)在区间[-1,1]上的最小值,求当|a|≥1时g(a)的解析式;
(Ⅲ)记y=f(x)的导函数为f′(x),则当a=1时,对任意x
1
∈[0,2],总存在x
2
∈[0,2]使得f(x
1
)=f′(x
2
),求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设奇函数f(x)满足:对∀x∈R有f(x+1)+f(x)=0,则f(5)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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