设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(1)若b=-12,求f(x)的单调递增区间;(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b

设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(1)若b=-12,求f(x)的单调递增区间;(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=-12,求f(x)的单调递增区间;
(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;
(3)求证对任意的n∈N*,不等式ln
n+1
n
n-1
n3
恒成立
答案
(1)由题意知,f(x)的定义域为(-1,+∞),b=-12时,
f′(x)=2x-
12
x+1
=
2x2+2x-12
x+1
=0
,得x=2(x=-3舍去),
当x∈(-1,2)时,f"(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f"(x)>0,
所以当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.
(2)由题意f′(x)=2x+
b
x+1
=
2x2+2x+b
x+1
=0
在(-1,+∞)有两个不等实根,
即2x2+2x+b=0在(-1,+∞)有两个不等实根,
设g(x)=2x2+2x+b,则





△=4-8b>0
g(-1)>0

解之得0<b<
1
2

(3)对于函数f(x)=x2-ln(x+1),令函数h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)
h′(x)=3x2-2x+
1
x+1
=
3x3+(x-1)2
x+1
,当x∈[0,+∞)时,h"(x)>0,
所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,
又h(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,恒有h(x)>h(0)=0
即x2<x3+ln(x+1)恒成立.取x=
1
n
∈(0,+∞)

则有ln(
1
n
+1)>
1
n2
-
1
n3
恒成立.
举一反三
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).
(1)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;
(2)当a=
1
3
时,若存在x1、x2∈[0,+∞)使得f(x1)=g(x2),求x2-x1的最小值;
(3)若x∈[0,+∞)时,F(x)≥F(-x)恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
给出下列4个命题:
①函数f(x)=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0:
②若函数f(x)=log(ax+1)的定义域是{x|x<l},则a<-1;
③若loga2<logb2,则
lim
n→∞
an-bn
an+bn
=1(其中n∈N+);
④圆:x2+y2-10x+4y-5=0上任意点M关于直线ax-y-5a=2的对称点,M′也在该圆上填上所有正确命题的序号是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知向量


OA
=(mcosα,msinα)(m≠0)


OB
=(-sinβ,cosβ)
.其中O为坐标原点.
(Ⅰ)若α=β+
π
6
且m>0,求向量


OA


OB
的夹角;
(Ⅱ)若|


OB
|≤
1
2
|


AB
|
对任意实数α、β都成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2)且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+
1
5
,则f(log220)=(  )
A.1B.
4
5
C.-1D.-
4
5
题型:单选题难度:简单| 查看答案
在下列函数中,是奇函数的有几个(  )
①f(x)=sin(π-x);
f(x)=
|x|
x
;     
③f(x)=x3-x;    
④f(x)=2x+2-x
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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