已知f(x)=log2a-2-xx-a的是奇函数.(I)求a的值;(II)若关于x的方程f-1(x)=m•2-x有实解,求m的取值范围.
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已知f(x)=log2a-2-xx-a的是奇函数.(I)求a的值;(II)若关于x的方程f-1(x)=m•2-x有实解,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=lo
g
2
a-2-x
x-a
的是奇函数.
(I)求a的值;
(II)若关于x的方程f
-1
(x)=m•2
-x
有实解,求m的取值范围.
答案
(I)由
a-2-x
x-a
>0得:a-2<x<a
∵f(x)为奇函数,∴a-2=-a⇒a=1.
经验证可知:a=1时,f(x)是奇函数,a=1为所求
(II)∵
f(x)=lo
g
2
1+x
1-x
,∴
f
-1
(x)=
2
x
-1
2
x
+1
.
法一:由f
-1
(x)=m•2
-x
得:
m=
(
2
x
)
2
-
2
x
2
x
+1
=
(
2
x
+1)
2
-3(
2
x
+1)+2
2
x
+1
=(
2
x
+1)+
2
2
x
+1
-3≥2
2
-3.
当且仅当x=lo
g
2
(
2
-1)时,
m
min
=2
2
-3
所以m的取值范围是
[2
2
-3,+∞)
法二:原方程即(2
x
)
2
-(m+1)2
x
-m=0设2
x
=t,则t
2
-(m+1)t-m=0
原方程有实解,等价于方程t
2
-(m+1)t-m=0有正实解
令g(t)=t
2
-(m+1)t-m则
g(0)<0或
g(0)=0
m+1
2
>0
或
g(0)>0
△=(m+1
)
2
+4m≥0
m+1
2
>0
⇒m>0或m=0或2
2
-3≤m<0
所以m的取值范围是
[2
2
-3,+∞)
举一反三
已知a>0,b>0,函数f(x)=x
2
+(ab-a-4b)x+ab是偶函数,则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为( )
A.16
B.8
C.4
D.
2
2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=2co
s
2
x+2
3
sinx•cosx+m
(1)若f(x)的最大值为1,求m的值
(2)当
x∈[0,
π
4
]
时,|f(x)|≤4恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
奇函数y=f(x)的定义域为R,当x≥0时,f(x)=2x-x
2
,设函数y=f(x),x∈[a,b]的值域为
[
1
b
,
1
a
]
,则b的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
下列函数为偶函数的是( )
A.y=2sinx
B.y=cos
2
x-sin
2
x
C.y=xcosx
D.y=1+tanx
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设函数f(x)=x
2
+bln(x+1),其中b≠0.
(1)若b=-12,求f(x)的单调递增区间;
(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;
(3)求证对任意的n∈N
*
,不等式
ln
n+1
n
>
n-1
n
3
恒成立
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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