设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1,k∈R)是奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,
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设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1,k∈R)是奇函数.(1)求实数k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,
题型:解答题
难度:一般
来源:重庆一模
设函数f(x)=ka
x
-a
-x
(a>0且a≠1,k∈R)是奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)=
3
2
,且g(x)=a
2x
+a
-2x
-2mf(x)在[1,+∝)上的最小值为-2,求实数m的值.
答案
(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(0)=0
∴k-1=0,
∴k=1
(2)∵f(1)=
3
2
,
∴a-
1
a
=
3
2
,
即2a
2
-3a-2=0
∴a=2或a=-
1
2
(舍去)
∴g(x)=2
2x
+2
-2x
-2m(2
x
-2
-x
)=(2
x
-2
-x
)
2
-2m(2
x
-2
-x
)+2
令t=f(x)=2
x
-2
-x
∵x≥1
∴t≥f(1)=
3
2
∴g(x)=t
2
-2mt+2=(t-m)
2
+2-m
2
当m≥
3
2
时,当t=m时,g(x)
min
=2-m
2
=-2
∴m=2
当m<
3
2
时,当t=
3
2
时,g(x)
min
=
17
4
-3m=-2
m=
25
12
>
3
2
,舍去
∴m=2
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且函数f(x+1)为奇函数.给出下列结论:
①函数f(x)的最小正周期为4;
②函数f(x)的图象关于(1,0)对称;
③函数f(x)的图象关于x=2对称;
④函数f(x)的最大值为f(2).
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
题型:单选题
难度:简单
|
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若
f(x)=
e
-
(x-u)
2
的最大值为m,且f(x)为偶函数,则m+u=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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在自然数集N上定义一个函数y=f(x),已知f(1)+f(2)=5.当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1,当x为偶数时f(x+1)-f(x)=3.
(1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N
+
)成等差数列.
(2)求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数中是奇函数的为( )
A.y=x
2
+cosx,x∈R
B.y=|2sinx|,x∈R
C.y=tanx
2
,x≠±
π
2
+kπ
(k∈N)
D.y=x
2
sinx,x∈R
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=a
x
2
+
x
e
-lnx
(其中a为常数,e为自然对数的底数).
(1)任取两个不等的正数x
1
、x
2
,
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
<0
恒成立,求:a的取值范围;
(2)当a>0时,求证:f(x)=0没有实数解.
题型:解答题
难度:一般
|
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