设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是
题型:单选题难度:简单来源:不详
设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1成立,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“亲密函数”,区间[a,b]称为“亲密区间”.若f(x)=x2+x+2与g(x)=2x+1在[a,b]上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是( )A.[0,2] | B.[0,1] | C.[1,2] | D.[-1,0] |
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答案
因为f(x)与g(x)在[a,b]上是“亲密函数”, 则|f(x)-g(x)|≤1即|x2+x+2-(2x+1)|≤1即|x2-x+1|≤1, 化简得-1≤x2-x+1≤1,因为x2-x+1的△<0即与x轴没有交点,由开口向上得到x2-x+1>0>-1恒成立; 所以由x2-x+1≤1解得0≤x≤1,所以它的“亲密区间”是[0,1] 故选B |
举一反三
设函数f(x)为定义域在R上的以3为周期的奇函数,若f(2)=,则不等式f(1)>1的解是( )A.a< | B.-1<a< | C.a>或a<-1 | D.a<且a≠-1 |
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已知定义在R上的函数y=f (x)满足下列三个条件:①对任意的x∈R,都有f(x+4)=f (x); ②对于任意的0≤x1<x2≤2,都有f(x1)>f(x2); ③y=f(x-2)的图象关于y轴对称,则下列结论中,正确的是( )A.f(-4.5)<f(-1.5)<f(7) | B.f(-4.5)<f(7)<f(-1.5) | C.f(7)<f(-4.5)<f(-1.5) | D.f(-1.5)<f(7)<f(-4.5) |
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设f(x)=,要使f(x)在(-∞,∞)内连续,则a的值为( ) |
已知定义域为[0,1]的函数f (x)同时满足: ①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2). (1)试求f(0)的值; (2)试求函数f (x)的最大值; (3)试证明:当x∈(,]时,f(x)<2x. |
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0,f(1)=1.是否存在常数a,b,c使得不等式x≤f(x)≤(x2+1)对一切实数x都成立?若存在,求出实数a,b,c的值;若不存在,请说明理由. |
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