已知函数f(x)=ex-x(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1(2)证明:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n∈N*).
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已知函数f(x)=ex-x(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1(2)证明:1+12+13+…+1n>ln(n+1)(n∈N*).
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=e
x
-x
(1)证明:对一切x∈R,都有f(x)≥1
(2)证明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)(n∈N
*
).
答案
(1)由f′(x)=e
x
-1=0,得x=0
∵当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0
∴f(x)在(-∞,0)上为减函数;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数
∴[f(x)]
min
=f(0)=1
∴x∈R时,f(x)≥1
(2)由(1)可知:当x>0时,e
x
>x+1,即x>ln(x+1)
则1>ln2,
1
2
>ln(
1
2
+1)
,,
1
n
>ln(
1
n
+1)
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
=ln(n+1)
举一反三
函数f(x)是奇函数,且在[-1,1]是单调增函数,又f(-1)=-1,则满足f(x)≤t
2
+2at+1对所有的x∈[-1,1]及a∈[-1,1]都成立的t的范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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奇函数f(x)(x∈R)满足:f(-4)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,则不等式(x
2
-4)f(x)<0的解集为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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(理科)设函数f(x)的定义域为
R,若存在常数 M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数 x
均成立,则f(x)为β函数.现给出如下4个函数:(1)f(x)=0;f(x)=x
2
;f(x)=
2
(sinx+cosx);f(x)=
x
x
2
+x+1
.其中是β函数的序号是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x)的对称轴为x=4,则( )
A.f(2)>f(3)
B.f(2)>f(5)
C.f(3)>f(5)
D.f(3)>f(6)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x
3
-cosx,当x<0时,f(x)的表达式为( )
A.x
3
+cosx
B.-x
3
+cosx
C.-x
3
-cosx
D.x
3
-cosx
题型:单选题
难度:简单
|
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