设f(θ)=2cos2θ+3sin2θ，θ∈(0，π4)；（1）求f（θ）的值域；（2）若y=x+ax（x＞0），试问实数a为何值时，y≥f（θ）恒成立？

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(θ)=2cos2θ+

3

sin2θ，θ∈(0，

π

4

)；
（1）求f（θ）的值域；
（2）若y=x+

a

x

（x＞0），试问实数a为何值时，y≥f（θ）恒成立？

答案

（1）f(θ)=2sin(2θ+

π

6

)+1；

&0＜θ＜ π 4

⇒& π 6 ＜2θ+ π 6 ＜ 2π 3

⇒f（θ）∈（2，3]
∴f（θ）的值域：（2，3]．
（2）∵f（θ）_max=3，
∴x+

a

x

≥3，在（0，+∞）恒成立
a≥x（3-x）在（0，+∞）恒成立，
∵x(3-x)=-x2+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
x=

3

2

∈(0，+∞)时取等号
∴只要a≥

9

4

即可．