已知函数f(x)=2x-a2x(a∈R),将y=f(x)的图象向右平移两个单位,得到函数y=g(x)的图象,函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=

已知函数f(x)=2x-a2x(a∈R),将y=f(x)的图象向右平移两个单位,得到函数y=g(x)的图象,函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x-
a
2x
(a∈R),将y=f(x)的图象向右平移两个单位,得到函数y=g(x)的图象,函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=1对称.
(Ⅰ)求函数y=g(x)和y=h(x)的解析式;
(Ⅱ)若方程f(x)=a在x∈[0,1]上有且仅有一个实根,求a的取值范围;
(Ⅲ)设F(x)=f(x)+h(x),已知F(x)>2+3a对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-
a
2x-2

设y=h(x)的图象上一点P(x,y),点P(x,y)关于y=1的对称点为Q(x,2-y),
由点Q在y=g(x)的图象上,所以2x-2-
a
2x-2
=2-y

于是y=2-2x-2+
a
2x-2
,即h(x)=2-2x-2+
a
2x-2

(Ⅱ)设t=2x,∵x∈[0,1],∴t∈[1,2].
2x-
a
2x
=a
t-
a
t
=a
,即t2-at-a=0在t∈[1,2]上有且仅有一个实根.
设k(t)=t2-at-a,对称轴t=
a
2

若k(1)=0,则a=
1
2
,两根为t1=1,t2=-
1
2
.适合题意;
若k(2)=0,则a=
4
3
,两根为t1=2,t2=-
2
3
.适合题意.
若在(1,2)内有且仅有一个实根,则k(1)•k(2)<0①或    





△=0
1≤
a
2
≤2

由①得 (1-2a)(4-3a)<0⇔
1
2
<a<
4
3

由②得 





a2+4a=0
2≤a≤4
无解.
综上可得a∈[
1
2
4
3
]

(Ⅲ)F(x)=f(x)+h(x)=
3
4
2x+
3a
2x
+2

由F(x)>2+3a,化简得
1
4
2x+
a
2x
>a
,设t=2x,t∈(2,+∞).
即t2-4at+4a>0对任意t∈(2,+∞)恒成立.
注意到t-1>1,分离参数得a<
t2
4(t-1)
对任意t∈(2,+∞)恒成立.
m(t)=
t2
t-1
,t∈(2,+∞),即a<
1
4
m(t)min

m(t)=
t2
t-1
=(t-1)+
1
t-1
+2

可证m(t)在(2,+∞)上单调递增.
∴m(t)>m(2)=4,
a≤
1
4
•4=1
,即a∈(-∞,1].
举一反三
f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x+2)=f(x),又当x∈(0,1)时f(x)=2x-1.
(1)求f(x)在x∈(2,3)时的解析式;
(2)求f(log
1
2
6)
的值.
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选修4-5:不等式选讲
若关于x的方程 x2-4x+|a|+|a-3|=0有实根
(1)求实数a的取值集合A
(2)若存在a∈A,使得不等式t2-2a|t|+12<0成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若f(x+π)=f(-x),且f(-x)=f(x),则f(x)可以是(  )
A.|sinx|B.cosxC.sin2xD.sin|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(
3
2
-x)=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足a1=-1,且
Sn
n
=2×
an
n
+1,(其中Sn为{an}的前n项和).则f(a5)+f(a6)=(  )
A.-3B.-2C.3D.2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
使得关于x的不等式ax≥x≥logax(0<a≠1)在区间(0,+∞)上恒成立的正实数a的取值范围是______
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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