已知函数f(x)=x3+2x2+x.(I)求函数f(x)的单调区间与极值;(II)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=x3+2x2+x.(I)求函数f(x)的单调区间与极值;(II)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3+2x2+x.
(I)求函数f(x)的单调区间与极值;
(II)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(I)∵f"(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1)
令f"(x)>0得x>-
1
3
或x<-1
故函数在(-∞,-1)与(-
1
3
,+∞)是增函数,在(-1,-
1
3
)是减函数,故函数在x=-1处取到极大值,在x=-
1
3
处取到极小值
极大值为0,极小值-
4
27

(II)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)≥ax2恒成立,则必有a≤
f(x)
x2
=x+
1
x
+2对于任意x∈(0,+∞),恒成立,
∵x+
1
x
+2≥4,等号当且仅当x=
1
x
=1时成立
∴a≤4
∴实数a的取值范围(-∞,4]
举一反三
若f(x)是R上的奇函数,且f(2x-1)的周期为4,若f(6)=-2,则f(2008)+f(2010)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)>2x+m在区间,[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)+f(2-x)=0,且f(1)=9,则f(2010)+f(2011)+f(2012)的值为(  )
A.-9B.9C.0D.1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上是增函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,下列判断中错误的是(  )
A.f(5)=0
B.函数f(x)在[1,2]上单调递减
C.函数f(x)的图象关于直线 x=1对称
D.函数f(x)的周期是T=4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=aln(


x2+1
+x)+bx3+x2,其中a、b为常数,f(1)=3,则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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