设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=
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设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
①对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x>1时,f(x)<0;
③f(3)=-1
(I)求f(1)和
f(
1
9
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
答案
(I)∵函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,
对正数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得f(1)=0.
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9
)=f(1)=0,
得f(
1
9
)=2.
(II)设0<x
1
<x
2
<+∞,由条件(1)可得f(x2)-f(x1)=f(
x
2
x
1
),
因
x
2
x
1
>1,由(2)知f(
x
2
x
1
)<0,
所以f(x
2
)<f(x
1
),
即f(x)在R
+
上是递减的函数.
由条件(1)及(I)的结果得:f[x(2-x)]<f(
1
9
),
由函数f(x)在R
+
上的递减性,得:
x>0
2-x>0
x(2-x)>
1
9
,
由此解得x的范围是(1-
2
2
3
,1+
2
2
3
).
举一反三
已知函数f(x)=aln(x+1)-x
2
,若在区间(0,1)内任取两个实数p,q,且p≠q,不等式
f(p+1)-f(q+1)
p-q
>1
恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+(2a-8)x,不等式f(x)≤5的解集是{x|-1≤x≤5}.
(1)求实数a的值;
(2)f(x)≥m
2
-4m-9对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则(x-1)f(x)<0的解是( )
A.(-3,0)∪(1,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,0)∪(1,3)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f(2x-1)<f(
1
3
)的x取值范围是( )
A.[
1
3
,
2
3
)
B.(
1
3
,
2
3
)
C.(
1
2
,
2
3
)
D.[
1
2
,
2
3
)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=log
2
(x
2
+1)(x≥0),
g(x)=
x-a
, ( a∈R )
.
(1)试求函数f(x)的反函数f
-1
(x);
(2)函数h(x)=f
-1
(x)+g(x),求h(x)的定义域,并判断函数h(x)的增减性;
(3)(理)若(2)中函数h(x),有h(x)≥2在定义域内恒成立,求a的范围.
(文)若(2)中函数h(x)的最小值为3,试求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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