已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3+1；（1）求y=f（x）的解析式；（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x³+1；
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）（x∈[t，t+1]）的最小值g（t）．

答案

（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）
x≥0时，f（x）=x³+1
∴x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）³+1=-x³+1
故f（x）=

x3+1，x≥0 -x3+1，x＜0

…（5分）
（2）由（1）中函数f（x）的解析式楞各
当t+1≤0，即t≤-1时
f（x）=-x³+1在区间[t，t+1]上为减函数
∴F（x）_min=f（t+1）=-（t+1）³+1…（7分）
当t＜0＜t+1，即-1＜t＜0时
f（x）=-x³+1在区间[t，0]上为减函数，区间[0，t+1]上为减函数
F（x）_min=f（0）=1…（9分）
当t≥0时，f（t）=t³+1在区间[t，t+1]上为增函数
F（x）_min=f（t）=t³+1        …（11分）
故：F（x）_min=g（t）=

-(t+1)3+1，t≤1 1，-1＜t＜0 t3+1，t≥0

…（12分）