已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3+1;(1)求y=f(x)的解析式;(2)求F(x)=f(x)(x∈[t,t+1])的最小值

已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3+1;(1)求y=f(x)的解析式;(2)求F(x)=f(x)(x∈[t,t+1])的最小值

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3+1;
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求F(x)=f(x)(x∈[t,t+1])的最小值g(t).
答案
(1)∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(-x)
x≥0时,f(x)=x3+1
∴x<0时,f(x)=f(-x)=(-x)3+1=-x3+1
故f(x)=





x3+1,x≥0
-x3+1,x<0
…(5分)
(2)由(1)中函数f(x)的解析式楞各
当t+1≤0,即t≤-1时
f(x)=-x3+1在区间[t,t+1]上为减函数
∴F(x)min=f(t+1)=-(t+1)3+1…(7分)
当t<0<t+1,即-1<t<0时
f(x)=-x3+1在区间[t,0]上为减函数,区间[0,t+1]上为减函数
F(x)min=f(0)=1…(9分)
当t≥0时,f(t)=t3+1在区间[t,t+1]上为增函数
F(x)min=f(t)=t3+1        …(11分)
故:F(x)min=g(t)=





-(t+1)3+1,t≤1
1,-1<t<0
t3+1,t≥0
…(12分)
举一反三
若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则(  )
A.f(-1.5)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(-1.5)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f(-1.5)D.f(2)<f(-1.5)<f(-1)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x-1,则当x<0时,f(x)=(  )
A.-x2-x+1B.x2+x-1C.-x2-x-1D.x2+x+1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)当x∈[-
3
2
,3]
时,求f(x)的最大值与最小值.并求出相应x的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ln(


x2+1
+x)
,若实数a,b满足f(a-1)+f(b)=0,则a+b等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(1-a)+f(2a-1)<0,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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