已知函数f(x)=x+log3x+2a-x为奇函数.(1)求实数a的值;(2)函数g(x)的图象由函数f(x)的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到,

已知函数f(x)=x+log3x+2a-x为奇函数.(1)求实数a的值;(2)函数g(x)的图象由函数f(x)的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到,

题型:解答题难度:一般来源:浦东新区一模
已知函数f(x)=x+log3
x+2
a-x
为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)函数g(x)的图象由函数f(x)的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到,写出g(x)的对称中心坐标,若g(b)=1,求g(4-b)的值;
(3)若(2)中g(x)的图象与直线x=1,x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S,求S的值.
答案
(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)对定义域内一切x均成立且函数的定义域关于原点对称.
方法一:由题意可得,
x+2
a-x
>0
,结合奇函数的定义域关于原点对称性可得a=2(4分)
方法二:一般式方法,-x+log3
-x+2
a+x
=-x-log3
x+2
a-x
x2-a2=x2-4,得到a=2(4分)
(2)由(1)可知,函数f(x)关于原点(0,0)对称 (5分)
则函数g(x)的对称中心为P(2,2)(7分)
所以 g(x)+g(4-x)=4(9分)
当g(b)=1时,g(4-b)=4-g(b)=3(11分)
(3)f(1)=1+log3
1
3
=0
,f(3)=3+log33=4(14分)
由对称性可知,函数y=g(x)的图象与直线x=1,x=3及x轴所围成封闭图形的面积S
S=
1
2
×(3-1)×4=4
(16分)
举一反三
若偶函数f(x)在区间[-1,0]上是减函数,α、β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式中正确的是(  )
A.f(cosα)>f(cosβ)B.f(sinα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(sinβ)D.f(cosα)>f(sinβ)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
给定函数:①y=
1
x
(x≠0);②y=x2+1;③y=2x;④y=log2x;⑤y=log2(x+


x2+1
).
在这五个函数中,奇函数是 ______,偶函数是 ______,非奇非偶函数是 ______
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=





f(x+3),x≤0
log3x,x>0
,则f(-9)等于(  )
A.-1B.0C.1D.3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f (1)=0.
(Ⅰ)求f (0)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅲ)当x∈(0,
1
2
)
时,f (x)+2<logax恒成立,试求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=x(
1
2x-1
+
1
2
)(x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)证明f(x)>0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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