设f(logax)=a(x2-1)x(a2-1),(a>0,a≠1)求证:(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;(2)f(3)>3.
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设f(logax)=a(x2-1)x(a2-1),(a>0,a≠1)求证:(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;(2)f(3)>3.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(log
a
x)=
a(
x
2
-1)
x(
a
2
-1)
,(a>0,a≠1)
求证:
(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)>3.
答案
证明:(1)令t=log
a
x,则x=a
t
,f(t)=
a
a
2
-1
(
a
t
-
a
-t
)
(t∈R),
∴f(x)=
a
a
2
-1
(
a
x
-
a
-x
)
(x∈R),
设x
1
<x
2
,f(x
1
)-f(x
2
)=
a(
a
x
1
-
a
x
2
)(
a
x
1
+
x
2
+1)
(
a
2
-1)
a
x
1
+
x
2
,
(1)当a>1时,因为x
1
0,
a
x
1
-
a
x
2
<0
,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
(2)当0<a<1时,因为a
2
-1<0,
a
x
1
-
a
x
2
>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
∴x
1
<x
2
时,恒有f(x
1
)<f(x
2
),∴K=
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0,
故过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)=
a
a
2
-1
(
a
3
-
a
-3
)
=
a(
a
6
-1)
a
3
(
a
2
-1)
=
a
4
+
a
2
+1
a
2
=
a
2
+
1
a
2
+1≥2
a
2
•
1
a
2
+1=3,
∵a>0,a≠1,∴
a
2
≠
1
a
2
,∴上述不等式不能取等号,
∴f(3)>3.
举一反三
已知函数f(x)=inx-a(x-1),a∈R
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤
inx
x+1
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若f(x)=(a+1)x
2
+(a-2)x+a
2
-a-2是偶函数,则a=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)满足f(1)=2,
f(x+1)=
1+f(x)
1-f(x)
,则f(1)•f(2)•f(3)•…•f(2009)的值为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)是可导的奇函数,且f′(-x
0
)=-k(k≠0),则f′(x
0
)等于( )
A.-k
B.k
C.
1
k
D.
-
1
k
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x+1)是偶函数,且x<1时,f(x)=x
2
+1,则x>1时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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