已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;(II)若函数y=|F(x)-b+
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已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;(II)若函数y=|F(x)-b+
题型:解答题
难度:一般
来源:潍坊二模
已知函数f(x)=a
x
+x
2
,g(x)=xlna.a>1.
(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(II)若函数
y=|F(x)-b+
1
b
|-3
有四个零点,求b的取值范围;
(III)若对于任意的x
1
,x
2
∈[-1,1]时,都有
|F(
x
2
)-F(
x
1
)|≤
e
2
-2
恒成立,求a的取值范围.
答案
(I)证明:∵函数f(x)=a
x
+x
2
,g(x)=xlna,
F(x)=a
x
+x
2
-xlna
求导函数,可得F′(x)=a
x
lna+2x-lna=2x+(a
x
-1)lna,
由于a>1,
∴lna>0,当x>0时,a
x
-1>0,
∴F′(x)>0,故函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)令F′(x)=2x+(a
x
-1)lna=0,得到x=0,
F′′(x)=a
x
(lna)
2
+2>0,F′(x)为单调增函数,说明x=0是唯一的极值点,也是最小值点;F(0)=1,
∵F′(0)=0,∴当x<0时,F′(x)<0,为减函数;
F(x),F′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
递减
极小值1
递增
举一反三
已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设α∈{-2,-1,1,2},则使函数y=x
α
为偶函数的所有α的和为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知a∈R,函数f(x)=x
2
|x-a|.
(Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
|x-2|-a
4-
x
2
为奇函数,则f(
a
2
)=( )
A.2
B.-2
C.
3
2
D.-
3
3
题型:单选题
难度:一般
|
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对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x
1
,x
2
∈A,当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)<f(x
2
),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)求f(3
k-1
)(k∈N
*
)的值;
(Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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