已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;(II)若函数y=|F(x)-b+

已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;(II)若函数y=|F(x)-b+

题型:解答题难度:一般来源:潍坊二模
已知函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna.a>1.
(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(II)若函数y=|F(x)-b+
1
b
|-3
有四个零点,求b的取值范围;
(III)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.
答案
(I)证明:∵函数f(x)=ax+x2,g(x)=xlna,
F(x)=ax+x2-xlna
求导函数,可得F′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna,
由于a>1,
∴lna>0,当x>0时,ax-1>0,
∴F′(x)>0,故函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)令F′(x)=2x+(ax-1)lna=0,得到x=0,
F′′(x)=ax(lna)2+2>0,F′(x)为单调增函数,说明x=0是唯一的极值点,也是最小值点;F(0)=1,
∵F′(0)=0,∴当x<0时,F′(x)<0,为减函数;
F(x),F′(x)的变化情况如下表:
举一反三
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x(-∞,0)0(0,+∞)
F′(x)-0+
F(x)递减极小值1递增
已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______.
设α∈{-2,-1,1,2},则使函数y=xα为偶函数的所有α的和为 ______.
已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|.
(Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
已知函数f(x)=
|x-2|-a


4-x2
为奇函数,则f(
a
2
)=(  )
A.2B.-2C.


3
2
D.-


3
3
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值;
(Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由.