已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；（II）若函数y=|F(x)-b+

题型：解答题难度：一般来源：潍坊二模

已知函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+

|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围．

答案

（I）证明：∵函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna，
F（x）=a^x+x²-xlna
求导函数，可得F′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令F′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=a^x（lna）²+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：

举一反三

题型：填空题难度：简单| 查看答案

题型：填空题难度：一般| 查看答案

题型：解答题难度：一般| 查看答案

题型：单选题难度：一般| 查看答案

题型：解答题难度：一般| 查看答案

最新试题

热门考点

超级试练试题库

（-∞，0）

（0，+∞）

F′（x）

F（x）

递减

极小值1

递增

已知：函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），f（2）=2，则f（2006）的值为______．

设α∈{-2，-1，1，2}，则使函数y=x^α为偶函数的所有α的和为 ______．

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ）判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

已知函数f（x）=

|x-2|-a

4-x2

为奇函数，则f（

）=（　　）

A．2

B．-2

C．

D．-

对于定义域为A的函数f（x），如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称函数f（x）是A上的严格增函数；函数f（k）是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f（f（k））=3k．
（Ⅰ）证明：f（3k）=3f（k）；
（Ⅱ）求f（3^k-1）（k∈N^*）的值；
（Ⅲ）是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．