已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对R上任意x满足f（x+2）=f（x）+f（2），且f（1）=2，则f（2012）=（ ）A．2010B．2012C
题型：单选题难度：简单来源：不详
| 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对R上任意x满足f（x+2）=f（x）+f（2），且f（1）=2，则f（2012）=（ ） |
答案
因为f（x+2）=f（x）+f（2），且函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
所以令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）+f（2），即f（1）=-f（1）+f（2），
所以f（2）=2f（1）=4，即f（x+2）=f（x）+4，所以f（x+2）-f（x）=4．
（方法1构造数列）
所以{f（x+2）}可以看做是以f（0）为首项，d=4为公差的等差数列．
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0．
所以f（2012）为数列中的第1007项，所以f（2012）=f（0）+×4=1006×4=4024．
（方法2累加法）
由f（x+2）-f（x）=4，可得
f（2）-f（0）=4；
f（4）-f（2）=4；
…
f（2012）-f（2010）=4；
等式两边同时相加，得f（2012）-f（0）=1006×4=4024，
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0．
所以f（2012）═4024．
故选D． |
举一反三
已知函数f（x）=ax+x2，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x1，x2∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围． |
| 已知：函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），f（2）=2，则f（2006）的值为______． |
| 设α∈{-2，-1，1，2}，则使函数y=xα为偶函数的所有α的和为 ______． |
已知a∈R，函数f（x）=x2|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值． |
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