已知函数f(x)=xax+b(a、b是非零实常数)满足f(1)=12,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解.(1)求a、b的值;(2)在直角坐标系中,求定点A(
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已知函数f(x)=xax+b(a、b是非零实常数)满足f(1)=12,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解.(1)求a、b的值;(2)在直角坐标系中,求定点A(
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
x
ax+b
(a、b是非零实常数)满足f(1)=
1
2
,且方程f(x)=x有且仅有一个实数解.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐标系中,求定点A(0,2)到函数f(x)图象上任意一点P(x,y)的距离|AP|的最小值.
(3)当x∈(
1
4
,
1
2
]时,不等式(x+1)•f(x)>m(m-x)-1恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=
x
ax+b
,且f(1)=
1
2
,
∴
1
a+b
=
1
2
,即a+b=2;
又
x
ax+b
=x有且仅有一个实数解,
∴x(
1-ax-b
ax+b
)=0有且仅有一个实数解,为0.
∴b=1,a=1.
∴f(x)=
x
x+1
.
(2)由(1)知,P(x,
x
x+1
),
|AP|
2
=
(
x
x+1
-2)
2
+x
2
=
(
-x-2
x+1
)
2
+x
2
=
(
1
x+1
+1)
2
+[(x+1)-1]
2
,
令t=
1
x+1
,
则|AP|
2
=t
2
+2t+1+
(
1
t
)
2
-
2
t
+1
=
(t-
1
t
)
2
+2(t-
1
t
)+4,
令r=t-
1
t
,
则|AP|
2
=r
2
+2r+4=(r+1)
2
+3,
∴当r=-1,即t-
1
t
=-1,t=
-1±
5
2
时,|AP|的最小值为
3
.
(3)∵x∈(
1
4
,
1
2
],
∴x+1>
5
4
>0,
∴(x+1)•f(x)>m(m-x)-1恒成立⇔x>m(m-x)-1恒成立⇔(1+m)x>m
2
-1,
当m+1>0,即m>-1时,
有m-1<x恒成立⇔m<x+1⇔m<(x+1)
min
,
∴-1<m<
5
4
;
当m+1<0,即m<-1时,同理可得m>(x+1)
max
=
3
2
,
∴此时m不存在.
综上得-1<m<
5
4
.
举一反三
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,对R上任意x满足f(x+2)=f(x)+f(2),且f(1)=2,则f(2012)=( )
A.2010
B.2012
C.4020
D.4024
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=a
x
+x
2
,g(x)=xlna.a>1.
(I)求证函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(II)若函数
y=|F(x)-b+
1
b
|-3
有四个零点,求b的取值范围;
(III)若对于任意的x
1
,x
2
∈[-1,1]时,都有
|F(
x
2
)-F(
x
1
)|≤
e
2
-2
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设α∈{-2,-1,1,2},则使函数y=x
α
为偶函数的所有α的和为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知a∈R,函数f(x)=x
2
|x-a|.
(Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合;
(Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性;
(Ⅲ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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