已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=12x2+mx+72(m<0)的图象也相切.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值;(Ⅱ)设
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已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=12x2+mx+72(m<0)的图象也相切.(Ⅰ)求直线l的方程及m的值;(Ⅱ)设
题型:解答题
难度:一般
来源:淄博二模
已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数
g(x)=
1
2
x
2
+mx+
7
2
(m<0)的图象也相切.
(Ⅰ)求直线l的方程及m的值;
(Ⅱ)设
h(x)=ag(x)-f(x)+2ax-
7
2
a
,若
h(x)≥
1
2
恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵
f′(x)=
1
x
,直线l是函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线,
∴其斜率为k=f′(1)=1
∴直线l的方程为y=x-1.
又因为直线l与g(x)的图象相切,
由
y=x-1
y=
1
2
x
2
+mx+
7
2
⇒
1
2
x
2
+(m-1)x+
9
2
=0
,
得△=(m-1)
2
-9=0⇒m=-2(m=4不合题意,舍去)
(Ⅱ)∵
g(x)=
1
2
x
2
-2x+
7
2
由
h(x)=
a
2
x
2
-2ax+
7a
2
-lnx+2ax-
7a
2
=
a
2
x
2
-lnx≥
1
2
恒成立,
得
a≥
1+2lnx
x
2
(x>0)
恒成立
设
ϕ(x)=
1+2lnx
x
2
,则
ϕ′(x)=
-4lnx
x
3
当0<x<1时,ϕ′(x)>0;当x>1时,ϕ′(x)<0.
于是,ϕ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
故φ(x)的最大值为ϕ
max
(x)=ϕ(1)=1
要使a≥ϕ(x)恒成立,只需a≥1,
∴a的取值范围为[1,+∞)
举一反三
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有
f(m)+f(n)
m+n
>0
,解不等式:
f(x+
1
2
)<f(
1
x-1
)
.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(2008)的值是( )
A.-1
B.1
C.2
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=x,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求λ的最大值;
(2)若g(x)<t
2
+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=axlnx图象上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),g(x)=x
2
-tx-2.
(I)求函数f(x)的解析式;
(II)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是R上的偶函数,对任意x
1
,x
2
∈[0,+∞),且x
1
≠x
2
时,都有(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0,则f(-2),f(0),f(3)的大小关系是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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