已知函数f(x)=log25+ax5+x,(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数;(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立
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已知函数f(x)=log25+ax5+x,(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数;(1)求a的值;(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
2
5+ax
5+x
,(-1≤x≤1)
为奇函数,其中a为不等于1的常数;
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的范围.
答案
(1)∵
f(x)=lo
g
2
5+ax
5+x
,(-1≤x≤1)
为奇函数
∴f(-x)=-f(x),即
lo
g
2
5-ax
5-x
=-lo
g
2
5+ax
5+x
即
5-ax
5-x
=
5+x
5+ax
对x∈[-1,1]恒成立;
所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)
∴a=±1,
因为a为不等于1的常数,所以a=-1
(2)∵
f(x)=lo
g
2
5-x
5+x
,(-1≤x≤1)
设
t=
5-x
5+x
,(-1≤x≤1)
,则f(t)=log
2
t,
因为
t=
5-x
5+x
=-1+
10
x+5
在[-1,1]上递减所以
2
3
≤t≤
3
2
,
又因为f(t)=log
2
t,在
[
2
3
,
3
2
]
上是增函数,
所以
f(t
)
min
=lo
g
2
2
3
因为对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,所以f(x)
min
>m
所以
m<lo
g
2
2
3
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2
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题型:填空题
难度:一般
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题型:解答题
难度:一般
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题型:填空题
难度:简单
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②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)•f(-b)≥0;
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题型:填空题
难度:一般
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题型:填空题
难度:一般
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