已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1

已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1

题型:解答题难度:一般来源:湖北模拟
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.
(Ⅰ)求证:m2+n2=0是f(x)是奇函数的充要条件;
(Ⅱ)若常数n=-4且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.
答案
解(I)充分性:若m2+n2=0,则m=n=0,∴f(x)=x|x|,
又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数.
必要性:若f(x)为奇函数,∵x∈R,
∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|
由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.
∴f(x)为奇函数,则m=n=0,即m2+n2=0.
∴m2+n2=0是f(x)为奇函数的充要条件.
(Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立;
若x∈(0,1]时,原不等式可变形为|x+m|<-
n
x
.即-x+
n
x
<m<-x-
n
x

∴只需对x∈(0,1],满足





m<(-x-
-4
x
)
min
m>(-x+
-4
x
)
max

对①式f1(x)=-x+
4
x
在(0,1]上单调递减.
∴m<f1(1)=3.③
对②式,设f&2(x)=-x-
4
x
,根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增,
∴f2(x)max=f(1).
∴m>f2(1)=-5.④
由③④知-5<m<3.
举一反三
已知函数f(x)=
3x-1
3x+1

(1)判断该函数的奇偶性;
(2)证明函数在定义域上是增函数.
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下列函数为偶函数的有 ______(填序号)
①g(x)=f(x)+f(-x);
②h(x)=f(x)-f(-x);
y=
1-x2
x4

④F(x)=p(x)q(x),其中p(x)、q(x)均是奇函数.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 008)+f(2 009)的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
(文)已知函数f(x)=2x-
1
2|x|

(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[2,3]恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=1-
2
2x+1

(1)证明函数f(x)的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.
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