已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）求证：m2+n2=0是f（x）是奇函数的充要条件；（Ⅱ）若常数n=-4且f（x）＜0对任意x∈[0，1
题型：解答题难度：一般来源：湖北模拟
已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）求证：m2+n2=0是f（x）是奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若常数n=-4且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围． |
答案
解（I）充分性：若m2+n2=0，则m=n=0，∴f（x）=x|x|，
又有f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）为奇函数．
必要性：若f（x）为奇函数，∵x∈R，
∴f（0）=0，即n=0，∴f（x）=x|x+m|
由f（1）=-f（-1），有|m+1|=|m-1|，∴m=0．
∴f（x）为奇函数，则m=n=0，即m2+n2=0．
∴m2+n2=0是f（x）为奇函数的充要条件．
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为|x+m|＜-．即-x+＜m＜-x-．
∴只需对x∈（0，1]，满足
对①式f1(x)=-x+在（0，1]上单调递减．
∴m＜f1（1）=3．③
对②式，设f&2(x)=-x-，根据单调函数的定义可证明f2（x）在（0，1]上单调递增，
∴f2（x）max=f（1）．
∴m＞f2（1）=-5．④
由③④知-5＜m＜3． |
举一反三
已知函数f（x）=
（1）判断该函数的奇偶性；
（2）证明函数在定义域上是增函数． |
下列函数为偶函数的有 ______（填序号）
①g（x）=f（x）+f（-x）；
②h（x）=f（x）-f（-x）；
③y=；
④F（x）=p（x）q（x），其中p（x）、q（x）均是奇函数． |
| 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（-2 008）+f（2 009）的值为______． |
（文）已知函数f(x)=2x-．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围． |
已知函数f(x)=1-，
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数． |
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